Vojta Maur

Tvořit je můj základní instinkt

Odraz a prostor

Vytvořeno v květnu 2020

V této práci jsem se zabýval odrazem, jeho vizualizací a matematickým modelem. Začal jsem jednoduchým problémem – míčkem ve čtverci. Tento „míček“ je ve skutečnosti matematický vektor, tedy bezrozměrný bod, který má pozici a směr, ale pro zjednodušení ho budeme nadále nazývat míčkem. Také jsem pro zjednodušení ignoroval odpor vzduchu, ztrátu energie při odrazu atd. Míček je tedy vržen do čtverce pod nějakým počátečním úhlem. Když narazí na stranu čtverce, odrazí se. Při pohybu za sebou také zanechává trajektorii. Tuto simulaci lze vidět v interaktivním okně níže. Lze s ním experimentovat a měnit počáteční úhel (angle) na jinou hodnotu. Dále stačí jen zmáčknout tlačítko Run (popřípadě Stop a poté znovu Run, pokud program již běží) a kód se spustí. Jak lze vidět, počáteční úhel ovlivňuje celkový vzhled trajektorie. Stejným způsobem lze zvýšit i rychlost (speed). Dokonce lze přidat překážku tím, že se přepíše is_obstacle = False na is_obstacle = True.

Zatímco některé hodnoty počátečního úhlu vytvoří velice jednoduché trajektorie, které samy sebe obtahují (při úhlech 45° a 90°), jiné hodnoty vytvoří velmi chaotické trajektorie. Otázka je, zda se jednou po dostatečném počtu odrazů i tyto trajektorie uzavřou samy do sebe a začnou se jen obtahovat. Jak lze spatřit na nákresu níže, každému odrazu lze přiřadit nějaký úhel φ(n) a nějakou délku L(n) od levého kraje strany čtverce, na níž míček dopadl.

Každá strana je velká 1 jednotku. Počátečními parametry je tedy velikost úhlu φ(0) a délka od levého kraje strany L(0). Takto vypuštěný míček se pak odrazí a vzniknou dvojice čísel φ(1) a L(1), dále φ(2) a L(2) atd… Pokud tedy chceme dokázat, zda se trajektorie při určitém počátečním úhlu a délce od levého kraje strany uzavře, zajímá nás, zda existují čísla φ(n) a L(n) taková, že φ(0) = φ(n) a L(0) = L(n). Jinými slovy, zajímá nás, zda se míček jednou dostane na místo, odkud byl vypuštěn a od toho se odrazí pod stejným úhlem. Abychom přesněji pochopili, co se z matematického hlediska při odrazech děje, napsal jsem algoritmus, do kterého se zadají dva parametry – φ(n) a L(n). Algoritmus poté přesně vypočte hodnoty čísel φ(n + 1) a L(n + 1), tedy hodnoty dalšího odrazu.

 

POKUD φ(n) < 90°:

            POKUD tan(φ(n)) * (1 – L(n)) < 1:

                        φ(n + 1) = 90° - φ(n)

                        L(n + 1) = tan(φ(n)) * (1 – L(n))

            POKUD tan(φ(n)) * (1 – L(n)) = 1:

                        φ(n + 1) = φ(n)

                        L(n + 1) = 0

            POKUD tan(φ(n)) * (1 – L(n)) > 1:

                        φ(n + 1) = 180° -  φ(n)

                        L(n + 1) = 1 – (tan(90° - φ(n)) + L(n))

 

POKUD φ(n) = 90°:

            φ(n + 1) = φ(n)

            L(n + 1) = L(n)

 

POKUD φ(n) > 90°:

            POKUD tan(180° -  φ(n)) * L(n) < 1:

                        φ(n + 1) = 270° - φ(n)

                        L(n + 1) = 1 – (tan(180° - φ(n)) * L(n))

            POKUD tan(180° -  φ(n)) * L(n) = 1:

                        φ(n + 1) = φ(n)

                       L(n + 1) = 1

            POKUD tan(180° -  φ(n)) * L(n) > 1:

                        φ(n + 1) = 180° - φ(n)

                        L(n + 1) = 1 + tan(150° - φ(n)) - L(n)


Jak je z něho patrné, používá hlavně goniometrickou funkci tangens. A protože výsledky této funkce mohou být iracionální čísla, hodnoty L(n) mohou být také iracionální.

Zkusím se tedy zeptat na jednodušší otázku, kterou nebude obtížné zodpovědět. Odrazí se míček od všech bodů určité strany? Jak si šlo povšimnout, hrana čtverce je číselná osa v intervalu <0, 1>. Tato osa obsahuje celá čísla, racionální čísla (neboli zlomky), ale i iracionální čísla (čísla s nekonečným a neperiodickým desetinným rozvojem). Čísel na straně čtverce je tedy nekonečně mnoho. Pokud se míč nekonečně mnohokrát odrazí od jedné strany, je možné, že jednou skutečně narazí do všech čísel této hrany?

 

Důkaz sporem:
Funkce tangens, kterou algoritmus používá, může nabývat iracionálních hodnot. Předpokládejme, že pokud se míček odrazí nekonečně mnohokrát (tedy pokud budeme výsledek z funkce nekonečněkrát vkládat zpět do ní samotné jakožto počáteční parametr), L(n) nabyde hodnot všech iracionálních čísel. Algoritmus také používá operaci násobení, a protože vynásobením dvou iracionálních čísel může vzniknout číslo racionální, L(n) nabyde hodnot i všech racionálních čísel. To znamená, že jednou nabyde takových hodnot, že φ(0) = φ(n) a L(0) = L(n) a trajektorie se tím uzavře. Tím už žádných nových hodnot nabývat nebude. To je ale spor, jelikož funkce nebude schopná generovat nová čísla, přestože jich je nekonečně mnoho. Míček tedy nikdy nevrazí do všech bodů hrany.


To ale ještě neznamená, že se trajektorie jednou neuzavře. Pouze z toho vyplývá, že trajektorie nikdy nevyplní celou plochu čtverce. Důkaz o uzavřenosti trajektorie se mi zatím nepodařilo vymyslet.

 

Rozhodl jsem se dále pracovat na simulaci odrazu a rozšířit ji do 3D. Míček se v ní odráží od stěn krychle v trojdimenzionálním prostoru. Bohužel tato simulace nelze použít na webu ve formě interaktivního rámečku. Proto je zde pouze kód a výstup v podobě obrázků.

Různé obrázky výše jsou generovány vypuštěním míčku ze středu krychle do různých směrů. Jak lze vidět, tento počáteční směr zásadně ovlivňuje podobu trajektorie. Některé trajektorie se uzavřou samy do sebe hned po několika odrazech, jiné vypadají spíše chaoticky. Stejně jako u 2D simulace je dost obtížné určit, zda se náhodou i velice chaoticky vypadající trajektorie po dostatečném počtu odrazů uzavřou samy do sebe a dále se budou jen opisovat. Níže je kód, který jsem pro tuto 3D simulaci vytvořil.